Question

sin 3x = 1/2 denkleminin [0, 2π] aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Answer 1

Soru:

$\sin 3x = \frac{1}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm Adımları

1. Temel Açıları Belirleme

Öncelikle sinüs değerinin $\frac{1}{2}$ olduğu açıları düşünmeliyiz. Birinci bölgedeki açı $\frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$) ve ikinci bölgedeki açı $\frac{5\pi}{6}$ ($150^\circ$) değerleridir.

2. Genel Çözüm Denklemlerini Kurma

Trigonometrik denklemlerin genel çözüm kuralına göre iki farklı durum elde ederiz ($k \in \mathbb{Z}$ olmak üzere):

$$3x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$

$$3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$

3. $x$'i Yalnız Bırakma

Her iki eşitliği de 3'e bölerek $x$'i bulalım:

$$x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}$$

$$x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}$$

4. Kökleri Bulma

Kökleri daha kolay hesaplayabilmek için $\frac{2k\pi}{3}$ ifadesinin paydasını eşitleyelim ve $\frac{12k\pi}{18}$ olarak yazalım. Şimdi, istenen aralık olan $[0, 2\pi]$ (yani $[0, \frac{36\pi}{18}]$) içine düşen kökleri bulmak için $k$'ya $0, 1, 2...$ tam sayı değerlerini vereceğiz.

• $k = 0$ için:

  $$x_1 = \frac{\pi}{18} + 0 = \frac{\pi}{18}$$
  $$x_2 = \frac{5\pi}{18} + 0 = \frac{5\pi}{18}$$

• $k = 1$ için:

  $$x_3 = \frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18}$$
  $$x_4 = \frac{5\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{17\pi}{18}$$

• $k = 2$ için:

  $$x_5 = \frac{\pi}{18} + \frac{24\pi}{18} = \frac{25\pi}{18}$$
  $$x_6 = \frac{5\pi}{18} + \frac{24\pi}{18} = \frac{29\pi}{18}$$

• $k = 3$ için: Bulunacak değerler ($\frac{37\pi}{18}$ ve $\frac{41\pi}{18}$) $2\pi$'yi (yani $\frac{36\pi}{18}$'i) geçeceği için aralığın dışındadır, bu nedenle bunları almıyoruz.

Sonuç

Elde ettiğimiz köklerin hepsi $[0, 2\pi]$ aralığındadır. Çözüm kümesi (Ç.K) şu şekildedir:

$$Ç.K. = \left\{ \frac{\pi}{18}, \frac{5\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}, \frac{17\pi}{18}, \frac{25\pi}{18}, \frac{29\pi}{18} \right\}$$