Question

Bir araba yarışçısı, 120 m yarıçaplı ve q eğim açılı bir dönemeci 108 km/h’lik sabit bir çizgisel süratle, içe ya da dışa kayma eğilimi göstermeksizin dönmüştür. Yolun eğimi (tan q) nedir (g = 10 N/kg alınız.)?

Answer 1

Çözüm:

Eğimli bir yolda hareket eden bir araç, hem yerçekimi kuvvetinin hem de normal kuvvetin bileşenleri altında dengede kalır. Dönemecin eğimi, aracın merkezcil kuvvetiyle denge kurmasını sağlayacak şekilde ayarlanmıştır.

Gerekli Bilgiler:

• Yarıçap (r): 120 m
• Hız (v): 108 km/h = 30 m/s (108 km/h * 1000 m/km / 3600 s/h)
• Yerçekimi ivmesi (g): 10 m/s²
• Eğim açısı: q
• Tanjant (tan): Bir dik üçgende karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı

Çözüm Adımları:

1. Kuvvetlerin Analizi:

   • Ağırlık (mg): Aşağıya doğru etki eder.
   • Normal Kuvvet (N): Yola dik yönde yukarı doğru etki eder.
   • Merkezcil Kuvvet (Fc): Dönemin merkezine doğru etki eder ve normal kuvvetin yatay bileşeni ile dengelenir.

2. Kuvvetlerin Bileşenlerine Ayırma:

   • Normal kuvvetin yatay bileşeni: N * sin(q)
   • Normal kuvvetin düşey bileşeni: N * cos(q)

3. Kuvvetlerin Dengesi:

   • Yatayda: N * sin(q) = m * v² / r (Merkezcil kuvvet)
   • Düşeyde: N * cos(q) = m * g (Ağırlık)

4. Denklemleri Birleştirme:

   • Yukarıdaki iki denklemi birbirine bölerek N ve m'yi sadeleştirebiliriz: tan(q) = (N * sin(q)) / (N * cos(q)) = (v² / r) / g

5. Verilen Değerleri Yerine Koyma:

   • tan(q) = (30 m/s)² / (120 m * 10 m/s²) = 0.75

Sonuç:

Dönemecin eğimi için tanjant değeri 0.75 olarak bulunmuştur. Yani, tan(q) = 0.75.