Question

Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için gerekli koşulları açıklayınız.

Answer 1

Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir.

---

Bire Bir Olma Koşulu

Bire bir fonksiyon, tanım kümesindeki her farklı elemanı değer kümesindeki farklı bir elemana eşler. Yani, $f(x^1)=f(x^2)$ olduğunda $x^1=x^2$ oluyorsa bu fonksiyon bire birdir. Eğer bir fonksiyon bire bir değilse, tersini aldığımızda değer kümesindeki bir eleman tanım kümesindeki birden fazla elemanla eşleşir. Bu da tersini bir fonksiyon olmaktan çıkarır çünkü fonksiyon tanımına göre tanım kümesindeki her elemanın sadece bir görüntüsü olmalıdır.

---

Örten Olma Koşulu

Örten fonksiyon ise, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olması demektir. Başka bir deyişle, fonksiyonun görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşit olmalıdır. Eğer fonksiyon örten değilse, tersini aldığımızda ters fonksiyonun tanım kümesinde, yani asıl fonksiyonun değer kümesinde, karşılığı olmayan elemanlar kalır. Bu durum da tersini fonksiyon olmaktan çıkarır çünkü bir fonksiyonun tanım kümesindeki tüm elemanların bir görüntüsü olmak zorundadır.