Question

Üstel Fonksiyon ve Logoritma ile ilgili bir Matematik hocasının sorabileceği soruları düşünüp hem  o  hem de soruları cevaplarını da yazalım.

Answer 1

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Temel Kavramlar

Soru 1: f(x)=2^x+1 üstel fonksiyonunun grafiği, g(x)=2^x fonksiyonunun grafiğine göre nasıl bir değişim gösterir?

Cevap 1: f(x)=2^x+1 fonksiyonunun grafiği, g(x)=2^x fonksiyonunun grafiğinin x ekseni boyunca 1 birim sola kaydırılmasıyla elde edilir. Yani, g(x)'in grafiğindeki her bir (x,y) noktası, f(x)'in grafiğinde (x−1,y) noktasına karşılık gelir.

Soru 2: log²8 ifadesinin değeri kaçtır ve bu ifade ne anlama gelir?

Cevap 2: log₂8=3'tür. Bu ifade, '2'nin hangi kuvveti 8'e eşittir?' sorusunun cevabıdır. Yani, 2³=8 olduğu için logaritmanın değeri 3'tür.

---

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Soru 3: 5^2x−1=125 denklemini nasıl çözeriz?

Cevap 3: Denklemin her iki tarafını da aynı tabanda yazmaya çalışırız. 125, 5³ olarak yazılabildiği için denklem 5^2x−1=5³ şeklini alır. Tabanlar eşit olduğunda üstler de eşit olmalıdır, yani 2x−1=3. Buradan 2x=4 ve x=2 bulunur.

Soru 4: log³(x+4)=2 denklemini nasıl çözeriz?

Cevap 4: Logaritmik ifadeyi üstel ifadeye dönüştürerek çözebiliriz. Logaritmanın tanımı gereği, taban 3 ve sonuç 2 olduğu için (x+4) ifadesi 3²'ye eşit olmalıdır. Yani x+4=3². Bu da x+4=9 demektir. Buradan x=5 olarak bulunur.

---

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Uygulamaları

Soru 5: Bir bakteri kolonisi her 30 dakikada bir ikiye katlanıyor. Başlangıçta 100 bakteri varsa, 2 saat sonra kaç bakteri olur?

Cevap 5: Bu problemi üstel büyüme modeliyle çözebiliriz. 2 saat, 120 dakikadır. Her 30 dakikada bir ikiye katlandığı için 2 saatte 4 katlanma periyodu olur (120/30=4). Başlangıçtaki bakteri sayısı N₀=100 ve her katlanmada 2 ile çarpıldığı için, 4 katlanma sonunda bakteri sayısı N=100×2⁴=100×16=1600 olur.

Soru 6: Bir radyoaktif maddenin yarılama ömrü 50 yıldır. Başlangıçta 200 gram olan bu maddeden 150 yıl sonra ne kadar kalır?

Cevap 6: Yarılama ömrü 50 yıl olduğuna göre, 150 yıl içinde 3 tane yarılama periyodu vardır (150/50=3). Her periyotta madde miktarı yarıya düşer. İlk 50 yıl sonunda madde miktarı 200/2=100 gram olur. İkinci 50 yıl sonunda madde miktarı 100/2=50 gram olur. Üçüncü 50 yıl sonunda ise madde miktarı 50/2=25 gram kalır. Yani, 150 yıl sonra 25 gram madde kalmış olur.