Question

$\int(x^3-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}})dx$ integralinin eşitini bulunuz.

Answer 1

Bu integrali çözerken yine polinomların integral alma kuralını kullanmamız gerekiyor. İşlem yapabilmek için önce kesirli ve köklü ifadeleri üslü sayı formatına çevirmeliyiz. Verilen ifadeyi $\int(x^3 - 2x^{-3} + \frac{1}{2}x^{-1/2})dx$ şeklinde yeniden yazabiliriz. Artık her bir terimin üssünü bir artırıp bulduğumuz yeni üsse bölerek kuralı uygulayabiliriz. İlk terimimiz olan $x^3$ ifadesinin üssünü bir artırıp dörde böldüğümüzde $\frac{x^4}{4}$ elde ederiz. İkinci terim olan $-2x^{-3}$ için $x$'in üssü olan eksi üçü bir artırıp eksi iki yapıyoruz ve bu ifadeyi eksi ikiye böldüğümüzde eksiler ve ikiler sadeleşerek geriye sadece $x^{-2}$ kalıyor, bunu da $\frac{1}{x^2}$ olarak yazabiliriz. Üçüncü terimimiz olan $\frac{1}{2}x^{-1/2}$ ifadesinde üssü bir artırdığımızda yeni üs $1/2$ olur, bu ifadeyi $1/2$'ye böldüğümüzde ters çevrilip çarpılacağı için baştaki $1/2$ ile sadeleşir ve geriye sadece $x^{1/2}$ kalır, bunu da $\sqrt{x}$ şeklinde yazabiliriz. Belirsiz integral çözdüğümüz için tüm bu terimleri işaretleriyle yan yana yazdıktan sonra denklemin en sonuna bir de $C$ integral sabitini eklememiz gerekiyor. Bütün parçaları birleştirdiğimizde integralin eşitini şu şekilde buluruz:

$$\int(x^3-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}})dx = \frac{x^4}{4} + \frac{1}{x^2} + \sqrt{x} + C$$