Question

$\int(2x-1)^3dx$ integralinin eşitini bulunuz.

Answer 1

Bu integrali çözerken değişken değiştirme yöntemini kullanabiliriz ya da içerideki ifade doğrusal olduğu için pratik bir kural uygulayarak işlemi hızlandırabiliriz. Pratik yoldan gitmek işimizi çok kolaylaştırır. Parantez içindeki ifade birinci dereceden olduğu için polinomların integral alma kuralına oldukça benzer bir mantık yürütüyoruz. Öncelikle parantezin dışındaki üs olan üçü bir artırıyoruz ve yeni üssümüz dört oluyor. Daha sonra bulduğumuz bu yeni ifadeyi, yani $(2x-1)^4$ ifadesini, hem oluşturduğumuz bu yeni üsse hem de parantez içinin türevine bölmemiz gerekiyor. Parantez içindeki $2x-1$ ifadesinin x'e göre türevi ikidir. O halde ifademizi hem dörde hem de ikiye böleceğiz, yani aslında paydaya bu iki sayının çarpımı olan sekiz yazacağız. Belirsiz integral çözdüğümüz için işlemin en sonuna bir de $C$ integral sabitini eklemeyi unutmuyoruz. Bütün bu adımları birleştirdiğimizde integralin eşitini şu şekilde buluruz:

$$\int(2x-1)^3dx = \frac{(2x-1)^4}{8} + C$$