Question

$\int(x^2+2x)^3\cdot(x+1)dx$ integralinin eşitini bulunuz.

Answer 1

Bu integrali çözerken değişken değiştirme yöntemini kullanmamız işimizi çok kolaylaştırır. İntegralin içindeki $x^2+2x$ ifadesine $u$ dersek, bu ifadenin türevini aldığımızda $2x+2$ buluruz. Yani $du = (2x+2)dx$ olur. Bunu da $2$ parantezine alırsak $du = 2(x+1)dx$ eşitliğini elde ederiz. İntegralimizin içinde zaten $(x+1)dx$ çarpanı var, o zaman $(x+1)dx$ gördüğümüz yere $\frac{du}{2}$ yazabiliriz. Şimdi bütün bu bulduklarımızı integralde yerlerine koyalım. İntegralimiz $\int u^3 \cdot \frac{du}{2}$ şekline dönüşür. Buradaki bölü iki ifadesini integralin dışına $\frac{1}{2}$ çarpanı olarak alabiliriz. Geriye kalan $u^3$ ifadesinin integralini almak polinom kuralıyla çok basittir, üssü bir artırıp yeni üsse böldüğümüzde $\frac{u^4}{4}$ buluruz. Dışarıdaki $\frac{1}{2}$ ile bu ifadeyi çarptığımızda $\frac{u^4}{8}$ elde ederiz. Belirsiz integral çözdüğümüz için ifadenin sonuna $C$ sabitini eklemeyi unutmuyoruz. İşlemi bitirmek için en başta $u$ dediğimiz $x^2+2x$ ifadesini denklemde tekrar yerine yazmamız gerekiyor. Tüm bu adımları birleştirdiğimizde integralin eşitini şu şekilde buluruz:

$$\int(x^2+2x)^3\cdot(x+1)dx = \frac{(x^2+2x)^4}{8} + C$$