Question

gerçel sayılar kümesinde artan, sürekli ve integrallenebilen $f(x)$ fonksiyonu için $\int_1^4f(x)dx=10$ integralinin Riemann alt toplamı $A$, Riemann üst toplamı $Ü$ ve $A$, $Ü$ birer tam sayı olmak üzere, $Ü-A$ farkı en az kaçtır?

Answer 1

Bu soruyu çözerken öncelikle bize verilen $f(x)$ fonksiyonunun sürekli ve artan bir fonksiyon olduğunu göz önünde bulundurmamız gerekiyor. Bir fonksiyon sürekli ve artan olduğunda, alt toplamı bulmak için çizilen dikdörtgenler eğrinin tamamen altında, üst toplamı bulmak için çizilen dikdörtgenler ise eğrinin tamamen üstünde kalır. Bu durum, o aralıktaki belirli integralin değerinin daima Riemann alt toplamından büyük, Riemann üst toplamından ise küçük olmasını sağlar.

Bize soruda integralin değeri 10 olarak verilmiş. Bu matematiksel kurala göre Riemann alt toplamı olan $A$ değeri kesinlikle 10 sayısından küçük olmalıdır. Aynı mantıkla Riemann üst toplamı olan $Ü$ değeri de kesinlikle 10 sayısından büyük olmalıdır. Eğrinin altında ve üstünde kalan boşluklardan dolayı fonksiyon artan olduğu sürece bu değerlerin 10'a eşit olma ihtimali yoktur, yani sıralamamız $A < 10 < Ü$ şeklinde ortaya çıkar.

Soruda $A$ ve $Ü$ değerlerinin birer tam sayı olduğu belirtilmiş ve bizden $Ü - A$ farkının en az kaç olacağı istenmiş. Bir çıkarma işleminin sonucunun en küçük olabilmesi için eksilen sayıyı alabildiğimiz kadar küçük, çıkan sayıyı ise alabildiğimiz kadar büyük seçmeliyiz. Eşitsizliğimize baktığımızda 10'dan büyük en küçük tam sayının 11, 10'dan küçük en büyük tam sayının ise 9 olduğunu görüyoruz. Seçtiğimiz bu değerleri işleme koyup $11 - 9$ yaptığımızda cevabı 2 buluruz