Question

6 öğrenci arasından en az 2, en çok 5 kişilik kaç farklı grup oluşturulabilir?

Answer 1

6 öğrenci arasından en az 2, en çok 5 kişiden oluşan gruplar oluşturmamız isteniyor. Bu, grup büyüklüğünün 2, 3, 4 veya 5 kişi olabileceği anlamına gelir. Her bir olası grup büyüklüğü için kaç farklı grup oluşturabileceğimizi ayrı ayrı hesaplayıp sonra bu sayıları toplamamız gerekiyor.

Kombinasyon Formülü

Bu tür problemleri çözerken kombinasyon formülünü kullanırız. Kombinasyon formülü, n eleman arasından r elemanın kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar ve şu şekilde gösterilir:

C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)

Burada:

• n = toplam eleman sayısı (bizim örneğimizde 6 öğrenci)
• r = seçilecek eleman sayısı (grup büyüklüğü)
• ! = faktöriyel (örneğin, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
• C(n, r) = n'in r'li kombinasyonu, yani n eleman arasından r elemanın seçilme sayısı

Adım Adım Çözüm

1. 2 Kişilik Grupların Sayısı:

   • n = 6 (toplam öğrenci sayısı)
   • r = 2 (grup büyüklüğü)

   C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (4 * 3 * 2 * 1)) = (6 * 5) / (2 * 1) = 30 / 2 = 15

   Yani, 6 öğrenciden 2 kişilik 15 farklı grup oluşturulabilir.

2. 3 Kişilik Grupların Sayısı:

   • n = 6
   • r = 3

   C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (3 * 2 * 1)) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 120 / 6 = 20

   Yani, 6 öğrenciden 3 kişilik 20 farklı grup oluşturulabilir.

3. 4 Kişilik Grupların Sayısı:

   • n = 6
   • r = 4

   C(6, 4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((4 * 3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = (6 * 5) / (2 * 1) = 30 / 2 = 15

   Yani, 6 öğrenciden 4 kişilik 15 farklı grup oluşturulabilir.

4. 5 Kişilik Grupların Sayısı:

   • n = 6
   • r = 5

   C(6, 5) = 6! / (5! * (6-5)!) = 6! / (5! * 1!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (1)) = 6 / 1 = 6

   Yani, 6 öğrenciden 5 kişilik 6 farklı grup oluşturulabilir.

5. Toplam Grup Sayısı:

   Şimdi, her bir grup büyüklüğü için bulduğumuz sayıları topluyoruz:

   Toplam Grup Sayısı = 2 kişilik grup sayısı + 3 kişilik grup sayısı + 4 kişilik grup sayısı + 5 kişilik grup sayısı = 15 + 20 + 15 + 6 = 56

Sonuç

6 öğrenci arasından en az 2, en çok 5 kişilik 56 farklı grup oluşturulabilir.

Özet Tablo

Grup Büyüklüğü	Kombinasyon Hesabı	Grup Sayısı
2 kişilik	C(6, 2) = 6! / (2! * 4!)	15
3 kişilik	C(6, 3) = 6! / (3! * 3!)	20
4 kişilik	C(6, 4) = 6! / (4! * 2!)	15
5 kişilik	C(6, 5) = 6! / (5! * 1!)	6
Toplam	56