Question

Rakamlar kümesinden bir rakamın rastgele seçilmesi deneyinde,

A = {Seçilen rakamın asal olmaması}

B = {Seçilen rakamın çift olması}

C = {Seçilen rakamın 5’in katı olması}

D = {Seçilen rakamın asal olması}

olaylarından hangilerinin ayrık, hangilerinin ayrık olmayan ve hangilerinin tümleyen olaylar olduklarını belirleyiniz.

Answer 1

Rakamlar kümesinden bir rakamın rastgele seçilmesi deneyinde, örnek uzay şöyle olur:

$$\Omega =\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$

Örnek uzayın eleman sayısı s (Ω) = 10’dur. Şimdi verilen olayları inceleyelim:

• A = {Seçilen rakamın asal olmaması}: Bu olayda, seçilen rakamın asal sayı olmaması isteniyor. Örnek uzayda asal olmayan elemanlar 0, 1, 4, 6, 8 ve 9’dur. Bu olayın eleman sayısı s (A) = 6’dır.
• B = {Seçilen rakamın çift olması}: Bu olayda, seçilen rakamın çift sayı olması isteniyor. Örnek uzayda çift olan elemanlar 0, 2, 4, 6 ve 8’dir. Bu olayın eleman sayısı s (B) = 5’tir.
• C = {Seçilen rakamın 5’in katı olması}: Bu olayda, seçilen rakamın 5’in katı olması isteniyor. Örnek uzayda 5’in katı olan elemanlar 0 ve 5’tir. Bu olayın eleman sayısı s © = 2’dir.
• D = {Seçilen rakamın asal olması}: Bu olayda, seçilen rakamın asal sayı olması isteniyor. Örnek uzayda asal olan elemanlar 2, 3, 5 ve 7’dir. Bu olayın eleman sayısı s (D) = 4’tür.

Ayrık olaylar, aynı anda gerçekleşemeyen olaylardır. Yani ortak sonucu yoktur. Ayrık olmayan olaylar ise aynı anda gerçekleşebilen olaylardır. Yani ortak sonucu vardır. Tümleyen olaylar ise bir olayın gerçekleşmeme durumudur. Yani örnek uzaydaki diğer tüm sonuçları içerir.

Bu bilgilere göre, verilen olaylardan hangilerinin ayrık, hangilerinin ayrık olmayan ve hangilerinin tümleyen olaylar olduklarını belirleyelim:

• A ve B: Ayrık olmayan olaylardır. Çünkü ortak sonuçları vardır: A ∩ B = {0, 4, 6, 8}
• A ve C: Ayrık olmayan olaylardır. Çünkü ortak sonuçları vardır: A ∩ C = {0, 5}
• A ve D: Ayrık olaylardır. Çünkü ortak sonucu yoktur: A ∩ D = ∅
• B ve C: Ayrık olmayan olaylardır. Çünkü ortak sonuçları vardır: B ∩ C = {0}
• B ve D: Ayrık olmayan olaylardır. Çünkü ortak sonuçları vardır: B ∩ D = {2}
• C ve D: Ayrık olaylardır. Çünkü ortak sonucu yoktur: C ∩ D = ∅
• A ve A’: Tümleyen olaylardır. Çünkü birleşimleri örnek uzaya eşit ve kesişimleri boş kümedir: A ∪ A’ = Ω ve A ∩ A’ = ∅
• B ve B’: Tümleyen olaylardır. Çünkü birleşimleri örnek uzaya eşit ve kesişimleri boş kümedir: B ∪ B’ = Ω ve B ∩ B’ = ∅
• C ve C’: Tümleyen olaylardır. Çünkü birleşimleri örnek uzaya eşit ve kesişimleri boş kümedir: C ∪ C’ = Ω ve C ∩ C’ = ∅
• D ve D’: Tümleyen olaylardır. Çünkü birleşimleri örnek uzaya eşit ve kesişimleri boş kümedir: D ∪ D’ = Ω ve D ∩ D’ = ∅