Olasılık = Olumlu vaka sayısı / Toplam olası vaka sayısı
Bu soruda, olumlu vaka, zarın en çok 3 gelmesidir. Toplam olası vaka ise, zarın 1’den 6’ya kadar herhangi bir sayı gelmesidir.
Soruda verilen bilgilere göre, zarın yüzlerindeki her bir sayının gelme olasılığı o sayının karesi ile orantılıdır. Bu durumda, zarın yüzlerindeki sayıların gelme olasılıklarını şöyle ifade edebiliriz:
1’in gelme olasılığı = 1 / k
2’nin gelme olasılığı = 4 / k
3’ün gelme olasılığı = 9 / k
4’ün gelme olasılığı = 16 / k
5’in gelme olasılığı = 25 / k
6’nın gelme olasılığı = 36 / k
Burada k, orantı sabitidir. Bu sabiti bulmak için, zarın yüzlerindeki sayıların gelme olasılıklarının toplamının 1’e eşit olduğunu biliyoruz. Yani:
1 / k + 4 / k + 9 / k + 16 / k + 25 / k + 36 / k = 1
Bu denklemi çözerek, k’nın değerini bulabiliriz:
91 / k = 1
k = 91
Böylece, zarın yüzlerindeki sayıların gelme olasılıklarını şöyle yazabiliriz:
1’in gelme olasılığı = 1 / 91
2’nin gelme olasılığı = 4 / 91
3’ün gelme olasılığı = 9 / 91
4’ün gelme olasılığı = 16 / 91
5’in gelme olasılığı = 25 / 91
6’nın gelme olasılığı = 36 / 91
Şimdi, oyunu kazanma ve kazanamama olasılıklarını bulabiliriz. Oyunu kazanmak için, zarın en çok 3 gelmesi gerekir. Bu durumda, oyunu kazanma olasılığı şöyle hesaplanır:
Oyunu kazanma olasılığı = (Zarın 1 gelme olasılığı) + (Zarın 2 gelme olasılığı) + (Zarın 3 gelme olasılığı)
Oyunu kazanma olasılığı = (1 / 91) + (4 / 91) + (9 / 91)
Oyunu kazanma olasılığı = 14 / 91
Oyunu kazanamamak için, zarın en az 4 gelmesi gerekir. Bu durumda, oyunu kazanamama olasılığı şöyle hesaplanır:
Oyunu kazanamama olasılığı = (Zarın 4 gelme olasılığı) + (Zarın 5 gelme olasılığı) + (Zarın 6 gelme olasılığı)
Oyunu kazanamama olasılığı = (16 / 91) + (25 / 91) + (36 / 91)
Oyunu kazanamama olasılığı = 77 / 91
Sonuç olarak, hileli bir zar ile oynanan bir oyunda en çok 3 atmak oyunu kazanmak anlamına geliyorsa oyunu kazanma ve kazanamama olasılıkları sırasıyla 14/91 ve 77/91’dir.
