Mutlak değer, bir gerçek sayının sayı doğrusundaki yerinin başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına denir. Örneğin, 3 ve -3 sayılarının sıfıra olan uzaklığı 3 birimdir. Bu yüzden, |3| = 3 ve |-3| = 3 şeklinde yazılır. Mutlak değer, bir sayının işaretini göz ardı ederek büyüklüğünü verir. Mutlak değer, |x| şeklinde gösterilir ve x gerçek sayısı için aşağıdaki tanımı sağlar:
|x| = { x x ≥ 0 i s e − x x < 0 i s e
Mutlak değer, bazı özelliklere ve kurallara sahiptir. Bunlardan bazıları şunlardır:
-
|x| ≥ 0 Bir gerçek sayının mutlak değeri 0’a eşit ya da 0’dan büyüktür.
-
|x.y| = |x| . |y| Çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
-
y ≠ 0 olmak üzere: | x y | = | x | | y | Bölüm durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin bölümüne eşittir.
-
|x| = |−x| Biri diğerinin −1 katı olan iki gerçek sayının mutlak değeri birbirine eşittir.
-
n ∈ Z olmak üzere: |xn| = |x|n Bir gerçek sayının pozitif tam sayı kuvvetinin mutlak değeri, mutlak değerinin aynı kuvvetine eşittir.
-
|x+y| ≤ |x|+ |y| İki gerçek sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir.
Mutlak değer, matematikte önemli bir kavramdır. Mutlak değerli denklemler, eşitsizlikler, fonksiyonlar, limitler, türevler, integraler gibi konularda sıkça karşılaşılır.
