Şekil 1.23'te 1 m yarıçaplı düşey bir çemberde 5 m/s süratle döndürülen 2 kg kütleli bir cismin dipte ve tepede serbest cisim diyagramları verilmiştir. Cismi çemberin merkezine bağlayan sicimdeki maksimum ve minimum gerilmeyi hesaplayınız (g = 10 m/s2 alınız).

Question

<span itemprop="name">Şekil 1.23&#039;te 1 m yarıçaplı düşey bir çemberde 5 m/s süratle döndürülen 2 kg kütleli bir cismin dipte ve tepede serbest cisim diyagramları verilmiştir. Cismi çemberin merkezine bağlayan sicimdeki maksimum ve minimum gerilmeyi hesaplayınız (g = 10 m/s2 alınız).</span>

Answer 1

Çözüm

Verilenler:

• Yarıçap (r) = 1 m
• Kütle (m) = 2 kg
• Hız (v) = 5 m/s
• Yer çekimi ivmesi (g) = 10 m/s²

İstenenler:

• Maksimum gerilme (T_max)
• Minimum gerilme (T_min)

Çözüm Adımları:

1. Merkezcil İvme (a_c) Hesabı:

• a_c = v²/r = (5 m/s)² / 1 m = 25 m/s²

2. Kuvvetlerin Analizi:

• En Üst Nokta:

  • Aşağı doğru etki eden kuvvetler: Ağırlık (mg) ve gerilme kuvvetinin (T_min) bir kısmı.
  • Yukarı doğru etki eden kuvvet yok.
  • Net kuvvet aşağı doğru ve merkezcil ivmeye eşittir.
  • mg + T_min = ma_c

• En Alt Nokta:

  • Aşağı doğru etki eden kuvvet: Ağırlık (mg).
  • Yukarı doğru etki eden kuvvet: Gerilme kuvveti (T_max).
  • Net kuvvet yukarı doğru ve merkezcil ivmeye eşittir.
  • T_max - mg = ma_c

3. Denklem Çözümü:

• En Üst Nokta: T_min = ma_c - mg = 2 kg * 25 m/s² - 2 kg * 10 m/s² = 30 N
• En Alt Nokta: T_max = ma_c + mg = 2 kg * 25 m/s² + 2 kg * 10 m/s² = 70 N

Sonuç:

• Maksimum Gerilme (T_max): 70 N
• Minimum Gerilme (T_min): 30 N

Açıklama:

• En Üst Noktada: Cisim en yüksek noktadayken, ağırlık kuvveti ve gerilme kuvvetinin bir kısmı birleşerek cismi dairesel yörüngede tutmak için gerekli olan merkezcil kuvveti sağlar. Bu noktada gerilme kuvveti minimumdur, çünkü ağırlık kuvveti de merkezcil kuvvete katkı sağlar.
• En Alt Noktada: Cisim en alt noktadayken, gerilme kuvveti hem ağırlığa karşı koyar hem de merkezcil kuvveti sağlar. Bu nedenle, gerilme kuvveti maksimum değerdedir.

Özetle:

Düşey çembersel hareket yapan bir cisimde, gerilme kuvveti cismin konumuna göre değişir. En üst noktada ağırlık kuvveti de merkezcil kuvvete katkı sağladığı için gerilme kuvveti minimumdur. En alt noktada ise gerilme kuvveti hem ağırlığa karşı koyar hem de merkezcil kuvveti sağladığı için maksimumdur.