m kütleli bir bilye, Şekil 1.59’da gösterildiği gibi bir borunun içinden geçirilen sicim kullanılarak yatay düzlemde v çizgisel süratiyle r yarıçaplı çember çizdirilerek döndürülüyor. Sicimin elle tutulan ucundan hafifçe gevşetilerek yörünge yarıçapı artırılırsa bilyenin açısal momentumu, eylemsizlik momenti ve açısal sürati ne olur (Sürtünmeyi önemsemeyiniz.)?

Question

<span itemprop="name">m kütleli bir bilye, Şekil 1.59’da gösterildiği gibi bir borunun içinden geçirilen sicim kullanılarak yatay düzlemde v çizgisel süratiyle r yarıçaplı çember çizdirilerek döndürülüyor. Sicimin elle tutulan ucundan hafifçe gevşetilerek yörünge yarıçapı artırılırsa bilyenin açısal momentumu, eylemsizlik momenti ve açısal sürati ne olur (Sürtünmeyi önemsemeyiniz.)?</span>

Answer 1

Verilen durumda, bir bilye yatay düzlemde dairesel bir hareket yapmaktadır. Bu hareket sırasında yarıçapın artırılması durumunda, bilyenin açısal momentumu, eylemsizlik momenti ve açısal sürati nasıl değişir, sorusu sorulmaktadır.

Çözüm:

• Açısal Momentumun Korunumu:

  • Sistemde dışarıdan bir tork etkimediği sürece (sürtünme olmadığı varsayıldığından), sistemin toplam açısal momentumu korunur. Yani, yarıçap artarken toplam açısal momentum sabit kalır.
  • L = mvr eşitliğinden, açısal momentum (L), kütle (m), hız (v) ve yarıçap (r) ile doğru orantılıdır. Eğer yarıçap (r) artarsa, hızı (v) azalarak toplam açısal momentumun sabit kalması sağlanır.

• Eylemsizlik Momenti:

  • Eylemsizlik momenti, I = mr² formülü ile verilir. Buradan da anlaşılacağı üzere, yarıçapın karesi ile doğru orantılıdır. Yani, yarıçap artarsa eylemsizlik momenti de artar.

• Açısal Sürat:

  • Açısal momentum (L), eylemsizlik momenti (I) ve açısal hız (ω) arasında L = Iω ilişkisi vardır.
  • Açısal momentum sabitken, eylemsizlik momenti artarsa, açısal hızı azalmak zorundadır.

Sonuç:

Yörünge yarıçapı artırıldığında;

• Açısal momentum: Sabit kalır.
• Eylemsizlik momenti: Artar.
• Açısal sürat: Azalır.

Fiziksel Açıklama:

• Yarıçap artarken bilyenin hızı azalır, böylece açısal momentum sabit kalır.
• Yarıçapın artması, kütlenin dönme ekseninden uzaklaşması anlamına gelir. Bu da eylemsizlik momentini artırır.
• Eylemsizlik momentinin artması ve açısal momentumun sabit kalması için açısal hızın azalması gerekir.

Örnek:

Bir buz pateni yapan sporcu kollarını açtığında eylemsizlik momenti artar ve açısal hızı azalır. Bu durum, bu sorudaki açıklamayla benzerlik gösterir.

Sonuç olarak, yörünge yarıçapının artırılması, bilyenin daha yavaş dönmesine neden olurken, sistemin toplam açısal momentumu korunur.