Tahtadaki konu, matematikteki değişken değiştirme dediğimiz bir integral çözme taktiği. İntegral alırken bazen karşımıza çok karmaşık, üstü alınması zor ifadeler çıkıyor. Mesela tahtadaki $\int (x^2 + 5)^3 2x \, dx$ sorusuna bakarsak, normal şartlarda $x^2+5$ ifadesinin küpünü alıp, sonra onu $2x$ ile çarpıp tek tek integralini almak büyük bir eziyet. İşte bu yüzden işi basitleştirmek için bir harf uyduruyoruz, genelde de buna $u$ diyoruz.
Amacımız o karmaşık olan kısma $u$ diyerek denklemi küçültmek. Tahtada, parantez içindeki o kalabalık $x^2 + 5$ ifadesine $u$ denmiş. Yani eşitliğimiz $u = x^2 + 5$ oluyor. Ama denklemdeki $x$'leri $u$ cinsinden yazdıysak, o en sondaki $dx$ ifadesini de $du$ yapmamız gerekiyor. Bunun için de az önce eşitlediğimiz o ifadenin her iki tarafının türevini alıyoruz. $x^2 + 5$ ifadesinin $x$'e göre türevi $2x$ yapıyor. Eşitliğin iki tarafının da diferansiyelini alınca elimizde $du = 2x \cdot dx$ gibi bir eşitlik kalıyor.
Şimdi en baştaki asıl sorumuza dönüp bulduğumuz bu yeni şeyleri yerlerine koyuyoruz. Soru $\int (x^2 + 5)^3 2x \, dx$ şeklindeydi. Biz $x^2+5$ gördüğümüz yere $u$ yazdık, orası $u^3$ oldu. Geriye kalan koca bir $2x \cdot dx$ kısmı var ve dikkat ederseniz biz de az önce türev alırken tam olarak $2x \cdot dx$ ifadesini $du$ olarak bulmuştuk. Hemen o kısmın tamamının yerine sadece $du$ yazıyoruz. Sorumuz bir anda o korkunç halinden çıkıp tertemiz bir $\int u^3 \, du$ işlemine dönüşüyor.
Artık sadece $u^3$ ifadesinin integralini almamız yetiyor. İntegral kuralı çok basit, üssü bir artırıp bulduğun o yeni üsse bölmen gerekiyor. $u^3$ için üssü bir artırırsak $u^4$ olur, bunu da dörde böleriz. Tabii belirsiz integral olduğu için bir de yanına o meşhur $+ C$ sabitini ekliyoruz. Çözümümüz $\frac{u^4}{4} + C$ oluyor. Ancak soruyu bize $x$'li verdikleri için cevabı da $x$'li teslim etmek zorundayız. Biz en başta neye $u$ demiştik diye hatırlayıp, o bulduğumuz cevapta $u$ gördüğümüz yere tekrar $x^2 + 5$ yazıyoruz. İşlemi bitirdiğimizde asıl cevap $\frac{(x^2+5)^4}{4} + C$ olarak karşımıza çıkıyor. Bütün mantık o karmaşık ifadeyi tek bir harfe indirgeyip basitçe integral aldıktan sonra tekrar eski haline geri çevirmekten ibaret.
