Bu işlemleri incelemek için öncelikle bazı kabuller belirlemeliyiz. Bu kabullere göre $m$ ve $n$ sayıları köklerin önündeki katsayıları, $a$ ve $b$ ise kök içindeki sayıları temsil eder. Ayrıca karekök işlemlerinin tanımlı olabilmesi için $a$ ve $b$ sayıları sıfırdan küçük olamaz yani sıfırdan büyük veya sıfıra eşit gerçek sayılardır. Bölme işleminde ise paydadaki ifadenin sıfırdan farklı olması gerekir.
Birinci işlem olan $m\sqrt{a} \cdot n\sqrt{b}$ çarpma işlemini yaparken katsayılar kendi arasında, kök içindeki ifadeler ise kendi arasında çarpılır. Bu kuralı matematiksel olarak $(m \cdot n)\sqrt{a \cdot b}$ şeklinde ifade ederiz. Yani dışarıdaki $m$ ile $n$ sayıları birbiriyle çarpılarak yeni katsayı oluşturur, kök içindeki $a$ ve $b$ sayıları da aynı kök derecesi altında ortak bir kök içinde birbiriyle çarpılır.
İkinci işlem olan $m\sqrt{a} / n\sqrt{b}$ bölme işlemini yaparken yine benzer mantık geçerlidir. Bu işlemde katsayılar kendi arasında bölünür, kök içindeki ifadeler de aynı dereceli kök altında birbirine bölünür. Matematiksel olarak bu işlem $(m / n)\sqrt{a / b}$ şeklinde yazılır. Bu bölme işleminin yapılabilmesi için paydadaki $n$ sayısının sıfırdan farklı olması ve kök içindeki $b$ sayısının sıfırdan büyük olması şarttır.
