Bir araba, 400 m yarıçaplı ve yatayla q açısı yapan eğimli bir dönemeçte yol alıyor. Araba 40 m/s süratle gittiğinde yolun dışına ya da içine doğru kayma eğilimine sahip değilse dönemecin eğimi (tan q) nedir (g = 10 m/s2 alınız.)?

Question

<span itemprop="name">Bir araba, 400 m yarıçaplı ve yatayla q açısı yapan eğimli bir dönemeçte yol alıyor. Araba 40 m/s süratle gittiğinde yolun dışına ya da içine doğru kayma eğilimine sahip değilse dönemecin eğimi (tan q) nedir (g = 10 m/s2 alınız.)?</span>

Answer 1

Bu soruda, bir arabanın eğimli bir yolda güvenli bir şekilde dönmesi için gerekli olan eğim açısı (tan q) değerini bulmaya çalışıyoruz. Bu durumda, merkezkaç kuvveti ve yerçekimi kuvvetinin bileşenleri arasındaki dengeyi kurmamız gerekiyor.

1. Kuvvetleri Analiz Edelim:

   • Merkezkaç Kuvvet (Fc): Arabanın dönüşü sırasında dışa doğru itme eğiliminde olan kuvvettir. Bu kuvvet, aracın kütlesi (m), hızının karesi (v²) ve dönüş yarıçapının (r) çarpımı ile doğru orantılıdır.
   • Yerçekimi Kuvveti (Fg): Aşağı doğru etki eden ve ağırlığı temsil eden kuvvettir. Bu kuvvet, aracın kütlesi (m) ve yerçekimi ivmesi (g) çarpımına eşittir.
   • Normal Kuvvet (N): Yolun araca uyguladığı dik kuvvettir. Bu kuvvet, yerçekimi kuvvetinin yol yüzeyine dik bileşeni ve merkezkaç kuvvetinin yol yüzeyine dik bileşeni arasındaki dengeyi sağlar.

2. Denge Koşulu:

   • Araba ne içe ne de dışa doğru kayıyorsa, bu durum, merkezkaç kuvvetinin yol yüzeyine paralel bileşeninin, yerçekimi kuvvetinin yol yüzeyine paralel bileşenine eşit olduğu anlamına gelir.
   • Bu dengeyi matematiksel olarak ifade edersek: 

     m * v² / r * sin(q) = m * g * cos(q)

3. Tan(q) İfade Edelim:

   • Yukarıdaki denklemde kütleler (m) sadeleşir ve trigonometrik özdeşlikler kullanarak tan(q) yalnız bırakılır: 

     tan(q) = v² / (r * g)
     

4. Verilen Değerleri Yerine Koyalım ve Hesaplayalım:

   • v = 40 m/s
   • r = 400 m
   • g = 10 m/s² 

     tan(q) = (40 m/s)² / (400 m * 10 m/s²) = 0.4
     

Sonuç:

Dönemecin eğimi (tan q) = 0.4 olarak bulunur. Bu değer, yolun yatay düzlemle yaptığı açının tanjantı olduğundan, trigonometrik tablolar veya hesap makinesi yardımıyla açının kendisi de bulunabilir.

Özetle:

Verilen hız ve yarıçap değerlerine göre, arabanın güvenli bir şekilde dönmesi için yolun eğiminin tanjantı 0.4 olmalıdır. Bu, yolun yatay düzlemle yaklaşık 21.8 derecelik bir açı yapması anlamına gelir.